數(shù)學(xué)真理的極限在哪里？希爾伯特第十問(wèn)題擴(kuò)展版得到證明(4)

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2025-02-06 11:25:37 機(jī)器之心Pro

其它丟番圖方程也可以編碼成其它類(lèi)型的計(jì)算。

Julia Robinson

為了解決希爾伯特最初的第十問(wèn)題，數(shù)學(xué)家們以這個(gè)想法為基礎(chǔ)開(kāi)始了研究。Julia Robinson 等人于 1950 年左右開(kāi)始研究，最終匯集成了 1970 年 Matiyasevich 的成果。研究結(jié)果表明，對(duì)于每個(gè)圖靈機(jī)，都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的丟番圖方程?！高@完全出乎意料，」智利天主教大學(xué)的 Hector Pasten 說(shuō)?！富谡麛?shù)的丟番圖方程足以定義你能想象到的任何東西。」

此外，數(shù)學(xué)家們還建立了一種優(yōu)雅的對(duì)應(yīng)關(guān)系：如果圖靈機(jī)因給定輸入而停止，其對(duì)應(yīng)的丟番圖方程將有一個(gè)整數(shù)解。

如果圖靈機(jī)永遠(yuǎn)運(yùn)行，其對(duì)應(yīng)的丟番圖方程將沒(méi)有解。但這意味著希爾伯特第十問(wèn)題編碼了停機(jī)問(wèn)題：如果一種算法可以根據(jù)是否有整數(shù)解對(duì)丟番圖方程進(jìn)行分類(lèi)，那么該算法也可用于根據(jù)是否會(huì)停機(jī)對(duì)圖靈機(jī)進(jìn)行分類(lèi)。

換句話(huà)說(shuō)，希爾伯特第十問(wèn)題是不可判定的。

數(shù)學(xué)家們希望采用同樣的方法來(lái)證明該問(wèn)題擴(kuò)展的整數(shù)環(huán)版本——但他們遇到了一個(gè)障礙。

將研究成果黏合起來(lái)

但在 1988 年，紐約大學(xué)的一名研究生 Sasha Shlapentokh 開(kāi)始想辦法解決這個(gè)問(wèn)題。到 2000 年，她和其他一些研究者制定了一個(gè)計(jì)劃。假設(shè)你要為 y = x2 添加一些其它項(xiàng)，從而可迫使 x 再次為整數(shù)，即便要使用不同的數(shù)字系統(tǒng)。然后，你可以挽救與圖靈機(jī)的對(duì)應(yīng)關(guān)系了。那所有丟番圖方程都可以這樣做嗎？如果可以，那就意味著希爾伯特問(wèn)題可以在新的數(shù)字系統(tǒng)中編碼停機(jī)問(wèn)題。

多年來(lái)，Shlapentokh等數(shù)學(xué)家弄清楚了他們必須在各種環(huán)的丟番圖方程中添加哪些項(xiàng)，這使他們能夠證明希爾伯特問(wèn)題在這些設(shè)置下仍然無(wú)法判定。然后，他們將所有剩余的整數(shù)環(huán)歸結(jié)為一種情況：涉及虛數(shù)i的環(huán)。數(shù)學(xué)家們意識(shí)到，在這種情況下，必須添加的項(xiàng)可以使用一類(lèi)名為橢圓曲線(xiàn)（elliptic curve）的特殊方程來(lái)確定。

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