數(shù)學(xué)真理的極限在哪里？希爾伯特第十問題擴展版得到證明(6)

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2025-02-06 11:25:37 機器之心Pro

Koymans 意識到，另一項工作給了他們一個重要的提示，即那些有時會出現(xiàn)的奇怪且驚人的數(shù)學(xué)一致性（mathematical concordance）：如果他們在二次扭曲中使用的數(shù)字恰好是三個素數(shù)的乘積，則他們就會獲得保證第二個性質(zhì)所需的控制權(quán)。但是，由于他們的橢圓曲線必須精心構(gòu)建并滿足許多規(guī)范，因此對這三個素數(shù)的取值有很多額外的限制。Koymans 和 Pagano 能找到可行的素數(shù)嗎 —— 不管對于哪個整數(shù)環(huán)？

幾天后，Pagano碰巧計劃訪問當時Koymans工作的瑞士蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院。接下來的一周，他們一起在黑板上努力尋找滿足所有限制的素數(shù)。最后，他們發(fā)現(xiàn)必須使用四個素數(shù)而不是三個素數(shù)來構(gòu)建所需的二次扭曲。這使得他們能夠應(yīng)用一種來自完全不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域的方法，即加性組合學(xué)（additive combinatorics），以確保每個環(huán)都存在正確的素數(shù)組合。

這就是最后一部分：他們構(gòu)建了所需的橢圓曲線。它為他們提供了向丟番圖方程添加項所需的方法，這使他們能夠?qū)D靈機（以及停機問題）編碼到這些方程中，而不管他們使用什么數(shù)字系統(tǒng)。一切都解決了。

希爾伯特第十問題對于每個整數(shù)環(huán)都是不可判定的。

上周四，在Koymans和Pagano在線發(fā)布他們的論文不到兩個月后，結(jié)果得到了進一步鞏固。一個由四名數(shù)學(xué)家組成的獨立團隊宣布了對同一結(jié)果的新證明。他們沒有尋找特殊的橢圓曲線，而是依靠一種不同類型的方程來完成同樣的工作。

這兩個團隊都希望利用他們的技術(shù)（這些技術(shù)使他們對橢圓曲線和相關(guān)方程有了前所未有的控制）在其他問題上取得進展。普林斯頓大學(xué)數(shù)學(xué)家、第二個證明的作者之一 Manjul Bhargava 說：「這兩種方法有可能結(jié)合起來做更多的事情?！?/p>

與此同時，對不可判定性終結(jié)以及可判定性開始的位置的探索尚未結(jié)束：數(shù)學(xué)家們正在新的環(huán)境中繼續(xù)探索希爾伯特第十問題。

蒙特利爾大學(xué)的 Andrew Granville 認為，這只是眾多問題中的一個，這些問題「反映了世界哪些部分為真的哲學(xué)方面」。

所有知識都有極限。

Granville說：「它提醒我們，有些事情是無法做到的——無論你是誰，無論你有怎樣的身份或才智?！?/p>

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(責任編輯：喬嬌 TT0002)

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