數(shù)學(xué)真理的極限在哪里？希爾伯特第十問題擴(kuò)展版得到證明(3)

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2025-02-06 11:25:37 機(jī)器之心Pro

這兩項工作不僅讓數(shù)學(xué)家能夠更精確地了解他們能知道什么和不能知道什么，還讓他們對數(shù)學(xué)中最核心的對象之一有了全新的控制水平。

論文標(biāo)題：Hilbert's tenth problem via additive combinatorics

論文地址：https://arxiv.org/abs/2412.01768

論文標(biāo)題：Rank stability in quadratic extensions and Hilbert's tenth problem for the ring of integers of a number field

論文地址：https://arxiv.org/abs/2501.18774

從整數(shù)開始擴(kuò)展

這些新證明的核心是希爾伯特第十問題的一種自然擴(kuò)展。該擴(kuò)展涉及的丟番圖方程的解屬于一個與整數(shù)密切相關(guān)的數(shù)字系統(tǒng)。

那么，問題來了：是否存在一種算法，可以總是確定給定丟番圖方程的解是否屬于某個整數(shù)環(huán)？

Carlo Pagano

數(shù)學(xué)家猜想，對于每一個整數(shù)環(huán)（即無限多個數(shù)字系統(tǒng)），這個問題仍然是不可判定的。這將使該結(jié)論遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出希爾伯特第十問題初始的整數(shù)范圍。

為了證明這一點，他們希望追隨原始問題的證明腳步——僅涉及整數(shù)解的問題。

一般來說，不可判定性證明（確定是否存在可以回答給定問題的通用算法的證明）遵循相同的方法：證明相關(guān)問題等價于計算機(jī)科學(xué)中一個著名的不可判定問題，即停機(jī)問題（halting problem）。停機(jī)問題問的是：對于一個理想的計算設(shè)備（稱為圖靈機(jī)），當(dāng)給定某個輸入時，該設(shè)備將永遠(yuǎn)運行還是最終會停止？現(xiàn)在人們已經(jīng)知道，并不存在一個可為每臺圖靈機(jī)解答這個問題的算法。

也可以將丟番圖方程視為計算設(shè)備。以方程 y = x2 為例。它有無窮多個整數(shù)解。只需為 x 代入不同的整數(shù)并求解 y，得到的值都屬于一個著名的整數(shù)集：完全平方數(shù)（the perfect squares）。我們很容易就能想象出一個能執(zhí)行其等價任務(wù)的計算機(jī)程序（即圖靈機(jī)）：「計算完全平方數(shù)的序列」。

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