數(shù)學(xué)真理的極限在哪里？希爾伯特第十問題擴(kuò)展版得到證明(2)

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2025-02-06 11:25:37 機(jī)器之心Pro

是否存在一種算法可以確定每個方程的解，還是說這個問題是不可判定的？也許不可能為所有數(shù)學(xué)問題找到一種完備而系統(tǒng)的求解方法 —— 甚至不可能解決希爾伯特的所有 23 個問題 —— 但對于丟番圖方程，可能仍然存在一種求解方法，作為希爾伯特理想的一個微縮版本。烏得勒支大學(xué)的 Peter Koymans 說：「這個問題是那個夢想的一個非常自然的版本?！?/p>

1970 年，一位名叫 Yuri Matiyasevich 的俄羅斯數(shù)學(xué)家打破了這個夢想。他的研究表明，并不存在一種可以確定任何給定的丟番圖方程是否有整數(shù)解的通用算法——希爾伯特第十問題是一個不可判定的問題。你也許能夠構(gòu)想出一種可以評估大多數(shù)方程的算法，但它無法適用于每一個方程。即使在這種最簡單的數(shù)學(xué)中，也隱藏著不可知性。

Yuri Matiyasevich，攝于 1969 年

數(shù)學(xué)家們想檢驗Matiyasevich的結(jié)論的適用范圍。比如如果允許丟番圖方程有復(fù)數(shù)解（可以用實部和虛部寫出的數(shù)字，并且不限于整數(shù)）呢？在這種情況下，每個丟番圖方程都有一個解，而希爾伯特第十問題的答案是肯定的。但是，在解必須是整數(shù)的方程和解可以是復(fù)數(shù)的方程之間，丟番圖方程還存在很廣的范圍。

「對于整數(shù)，它是不可求解的，然后當(dāng)傳遞給更大的數(shù)字系統(tǒng)時，可能會突然獲得可解性?！构鸫髮W(xué)的 Barry Mazur 說。「但這個轉(zhuǎn)折點在哪里？」

自希爾伯特第十問題被解決以來的 50 年里，數(shù)學(xué)家們一直在尋找這個轉(zhuǎn)折點?，F(xiàn)在，Koymans 和他的長期合作伙伴、蒙特利爾康考迪亞大學(xué)的 Carlo Pagano 以及另一組獨立研究的團(tuán)隊朝著這一目標(biāo)邁出了重要一步。

這兩個小組都證明，對于整數(shù)之外的大量重要數(shù)集，同樣不存在可確定任意給定的丟番圖方程是否有解的通用算法。

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