數(shù)學世界充滿了無法觸及的角落，那里存在著許許多多無法解決的問題?，F(xiàn)在，又一個角落被照亮了。

1900 年，著名數(shù)學家大衛(wèi)?希爾伯特（David Hilbert）公布了一份清單，其中包含 23 個關鍵問題，并希望以此指導下個世紀的數(shù)學研究。他的問題不僅為數(shù)學領域提供了路線圖，還反映了一個更雄心勃勃的愿景 —— 建立一個堅實的基礎，使得所有數(shù)學真理都可以基于此推理出來。

這個愿景很宏大，而其中的一大關鍵是假定數(shù)學是「完備的（complete）」。也就是說，所有數(shù)學陳述都應該可以被證明為真或假。

1930 年代，庫爾特?哥德爾（Kurt G?del）證明這是不可能的：在任何數(shù)學系統(tǒng)中，都有既不能證明也不能證偽的陳述。幾年后，艾倫?圖靈（Alan Turing）等人基于他的工作，表明數(shù)學充斥著「不可判定（undecidable）」的陳述——即任何計算機算法都無法解決的問題。

這些結果表明，證明和計算的能力存在一些根本性限制。有些數(shù)學根本無法被人知曉。

希爾伯特的夢想破滅了。但它的碎片依舊繼續(xù)存在著。他曾提出的那些問題仍會讓人想起他的愿景，使「完備數(shù)學」的理念可在更狹窄的語境下生存。

在這些問題中，第十問題是最主要的一個，其與丟番圖方程（又稱不定方程）有關。丟番圖方程是指有整數(shù)系數(shù)的多項式，例如x2+y2=5。我們很熟悉這些方程，而它們也是數(shù)學領域最核心的研究對象之一。幾千年來，數(shù)學家一直在尋找它們的整數(shù)解。例如，在這個例子中，一個解是x=1，y=2（因為12+22=5）。另一個是x=2，y=?1。

大衛(wèi)?希爾伯特

x2+y2=3等許多丟番圖方程卻可能沒有任何整數(shù)解。希爾伯特的第十問題是：是否總是可以判斷給定的丟番圖方程是否有整數(shù)解。

是否存在一種算法可以確定每個方程的解，還是說這個問題是不可判定的？也許不可能為所有數(shù)學問題找到一種完備而系統(tǒng)的求解方法 —— 甚至不可能解決希爾伯特的所有 23 個問題 —— 但對于丟番圖方程，可能仍然存在一種求解方法，作為希爾伯特理想的一個微縮版本。烏得勒支大學的 Peter Koymans 說：「這個問題是那個夢想的一個非常自然的版本?！?/p>

1970 年，一位名叫 Yuri Matiyasevich 的俄羅斯數(shù)學家打破了這個夢想。他的研究表明，并不存在一種可以確定任何給定的丟番圖方程是否有整數(shù)解的通用算法——希爾伯特第十問題是一個不可判定的問題。你也許能夠構想出一種可以評估大多數(shù)方程的算法，但它無法適用于每一個方程。即使在這種最簡單的數(shù)學中，也隱藏著不可知性。

Yuri Matiyasevich，攝于 1969 年

數(shù)學家們想檢驗Matiyasevich的結論的適用范圍。比如如果允許丟番圖方程有復數(shù)解（可以用實部和虛部寫出的數(shù)字，并且不限于整數(shù)）呢？在這種情況下，每個丟番圖方程都有一個解，而希爾伯特第十問題的答案是肯定的。但是，在解必須是整數(shù)的方程和解可以是復數(shù)的方程之間，丟番圖方程還存在很廣的范圍。

「對于整數(shù)，它是不可求解的，然后當傳遞給更大的數(shù)字系統(tǒng)時，可能會突然獲得可解性?！构鸫髮W的 Barry Mazur 說?！傅@個轉(zhuǎn)折點在哪里？」

自希爾伯特第十問題被解決以來的 50 年里，數(shù)學家們一直在尋找這個轉(zhuǎn)折點。現(xiàn)在，Koymans 和他的長期合作伙伴、蒙特利爾康考迪亞大學的 Carlo Pagano 以及另一組獨立研究的團隊朝著這一目標邁出了重要一步。

這兩個小組都證明，對于整數(shù)之外的大量重要數(shù)集，同樣不存在可確定任意給定的丟番圖方程是否有解的通用算法。

這兩項工作不僅讓數(shù)學家能夠更精確地了解他們能知道什么和不能知道什么，還讓他們對數(shù)學中最核心的對象之一有了全新的控制水平。

• 論文標題：Hilbert's tenth problem via additive combinatorics

• 論文地址：https://arxiv.org/abs/2412.01768

• 論文標題：Rank stability in quadratic extensions and Hilbert's tenth problem for the ring of integers of a number field

• 論文地址：https://arxiv.org/abs/2501.18774

從整數(shù)開始擴展

這些新證明的核心是希爾伯特第十問題的一種自然擴展。該擴展涉及的丟番圖方程的解屬于一個與整數(shù)密切相關的數(shù)字系統(tǒng)。

那么，問題來了：是否存在一種算法，可以總是確定給定丟番圖方程的解是否屬于某個整數(shù)環(huán)？

Carlo Pagano

數(shù)學家猜想，對于每一個整數(shù)環(huán)（即無限多個數(shù)字系統(tǒng)），這個問題仍然是不可判定的。這將使該結論遠遠超出希爾伯特第十問題初始的整數(shù)范圍。

為了證明這一點，他們希望追隨原始問題的證明腳步——僅涉及整數(shù)解的問題。

一般來說，不可判定性證明（確定是否存在可以回答給定問題的通用算法的證明）遵循相同的方法：證明相關問題等價于計算機科學中一個著名的不可判定問題，即停機問題（halting problem）。停機問題問的是：對于一個理想的計算設備（稱為圖靈機），當給定某個輸入時，該設備將永遠運行還是最終會停止？現(xiàn)在人們已經(jīng)知道，并不存在一個可為每臺圖靈機解答這個問題的算法。

也可以將丟番圖方程視為計算設備。以方程 y = x2 為例。它有無窮多個整數(shù)解。只需為 x 代入不同的整數(shù)并求解 y，得到的值都屬于一個著名的整數(shù)集：完全平方數(shù)（the perfect squares）。我們很容易就能想象出一個能執(zhí)行其等價任務的計算機程序（即圖靈機）：「計算完全平方數(shù)的序列」。

其它丟番圖方程也可以編碼成其它類型的計算。

Julia Robinson

為了解決希爾伯特最初的第十問題，數(shù)學家們以這個想法為基礎開始了研究。Julia Robinson 等人于 1950 年左右開始研究，最終匯集成了 1970 年 Matiyasevich 的成果。研究結果表明，對于每個圖靈機，都有一個對應的丟番圖方程?！高@完全出乎意料，」智利天主教大學的 Hector Pasten 說?！富谡麛?shù)的丟番圖方程足以定義你能想象到的任何東西。」

此外，數(shù)學家們還建立了一種優(yōu)雅的對應關系：如果圖靈機因給定輸入而停止，其對應的丟番圖方程將有一個整數(shù)解。

如果圖靈機永遠運行，其對應的丟番圖方程將沒有解。但這意味著希爾伯特第十問題編碼了停機問題：如果一種算法可以根據(jù)是否有整數(shù)解對丟番圖方程進行分類，那么該算法也可用于根據(jù)是否會停機對圖靈機進行分類。

換句話說，希爾伯特第十問題是不可判定的。

數(shù)學家們希望采用同樣的方法來證明該問題擴展的整數(shù)環(huán)版本——但他們遇到了一個障礙。

將研究成果黏合起來

但在 1988 年，紐約大學的一名研究生 Sasha Shlapentokh 開始想辦法解決這個問題。到 2000 年，她和其他一些研究者制定了一個計劃。假設你要為 y = x2 添加一些其它項，從而可迫使 x 再次為整數(shù)，即便要使用不同的數(shù)字系統(tǒng)。然后，你可以挽救與圖靈機的對應關系了。那所有丟番圖方程都可以這樣做嗎？如果可以，那就意味著希爾伯特問題可以在新的數(shù)字系統(tǒng)中編碼停機問題。

多年來，Shlapentokh等數(shù)學家弄清楚了他們必須在各種環(huán)的丟番圖方程中添加哪些項，這使他們能夠證明希爾伯特問題在這些設置下仍然無法判定。然后，他們將所有剩余的整數(shù)環(huán)歸結為一種情況：涉及虛數(shù)i的環(huán)。數(shù)學家們意識到，在這種情況下，必須添加的項可以使用一類名為橢圓曲線（elliptic curve）的特殊方程來確定。

但橢圓曲線必須滿足兩個屬性。首先，它需要有無限多個解。其次，如果切換到不同的整數(shù)環(huán)——如果從數(shù)字系統(tǒng)中移除虛數(shù)——那么該橢圓曲線的所有解都必須保持相同的底層結構。

事實證明，構建這樣一條適用于所有剩余環(huán)的橢圓曲線是一項極其微妙和困難的任務。但Koymans和Pagano——從研究生階段就開始就密切合作的橢圓曲線專家——擁有合適的工具集來進行嘗試。

許多個不眠之夜

從本科開始，Koymans就一直在思考希爾伯特第十問題。在就讀研究生以及在與Pagano合作期間，這個問題一直在召喚他?！肝颐磕甓紩◣滋鞎r間思考這個問題，但總是陷入困境，」Koymans說?！肝覈L試了三種方法，但它們都失敗了?！?/p>

2022年，在加拿大班夫舉行的一次會議上，他和Pagano最終聊到了這個問題。他們希望能夠一起構建出解決這個問題所需的特殊橢圓曲線。在完成了其它一些項目后，他們開始了研究。

Peter Koymans

他們從一個簡單的橢圓曲線方程開始，這個方程不滿足任何所需的屬性。他們知道他們可以使用一種名為二次扭曲（quadratic twist，這是他們已經(jīng)研究了近十年的東西）的成熟技術來調(diào)整方程，使其滿足第一個條件。他們只需將方程的一個變量乘以一個特定的數(shù)字，他們就會得到一條有無限多個解的新橢圓曲線。

但這給他們留下了一個問題。他們無法保證這條新曲線滿足第二個性質(zhì)——對于相差一個虛數(shù)的環(huán)，其解看起來會很相似。數(shù)學家們需要更好地控制二次扭曲。

他們陷入困境?！肝矣幸环N不好的感覺，」Koymans說?！肝议_始懷疑我們遺漏了什么東西?！?/p>

然后，在2024年夏天，在研究另一個問題時，兩人不得不再次使用二次扭曲。一天晚上，在這項研究過程中，科伊曼斯發(fā)現(xiàn)自己躺在床上睡不著，無法停止思考希爾伯特第十問題。

Koymans 意識到，另一項工作給了他們一個重要的提示，即那些有時會出現(xiàn)的奇怪且驚人的數(shù)學一致性（mathematical concordance）：如果他們在二次扭曲中使用的數(shù)字恰好是三個素數(shù)的乘積，則他們就會獲得保證第二個性質(zhì)所需的控制權。但是，由于他們的橢圓曲線必須精心構建并滿足許多規(guī)范，因此對這三個素數(shù)的取值有很多額外的限制。Koymans 和 Pagano 能找到可行的素數(shù)嗎 —— 不管對于哪個整數(shù)環(huán)？

幾天后，Pagano碰巧計劃訪問當時Koymans工作的瑞士蘇黎世聯(lián)邦理工學院。接下來的一周，他們一起在黑板上努力尋找滿足所有限制的素數(shù)。最后，他們發(fā)現(xiàn)必須使用四個素數(shù)而不是三個素數(shù)來構建所需的二次扭曲。這使得他們能夠應用一種來自完全不同的數(shù)學領域的方法，即加性組合學（additive combinatorics），以確保每個環(huán)都存在正確的素數(shù)組合。

這就是最后一部分：他們構建了所需的橢圓曲線。它為他們提供了向丟番圖方程添加項所需的方法，這使他們能夠?qū)D靈機（以及停機問題）編碼到這些方程中，而不管他們使用什么數(shù)字系統(tǒng)。一切都解決了。

希爾伯特第十問題對于每個整數(shù)環(huán)都是不可判定的。

上周四，在Koymans和Pagano在線發(fā)布他們的論文不到兩個月后，結果得到了進一步鞏固。一個由四名數(shù)學家組成的獨立團隊宣布了對同一結果的新證明。他們沒有尋找特殊的橢圓曲線，而是依靠一種不同類型的方程來完成同樣的工作。

這兩個團隊都希望利用他們的技術（這些技術使他們對橢圓曲線和相關方程有了前所未有的控制）在其他問題上取得進展。普林斯頓大學數(shù)學家、第二個證明的作者之一 Manjul Bhargava 說：「這兩種方法有可能結合起來做更多的事情?！?/p>

與此同時，對不可判定性終結以及可判定性開始的位置的探索尚未結束：數(shù)學家們正在新的環(huán)境中繼續(xù)探索希爾伯特第十問題。

蒙特利爾大學的 Andrew Granville 認為，這只是眾多問題中的一個，這些問題「反映了世界哪些部分為真的哲學方面」。

所有知識都有極限。

Granville說：「它提醒我們，有些事情是無法做到的——無論你是誰，無論你有怎樣的身份或才智?！?/p>