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100個(gè)紅綠球，讓2萬人集體翻車，數(shù)學(xué)家「罐中難題」引爆全網(wǎng)討論(7)

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2024-09-03 13:47:05  網(wǎng)易

由于可能在HT^n H步驟的中間結(jié)束，（在給Bob一個(gè)使游戲平局的分?jǐn)?shù)后，但在返回到H之前），而不可能在HH的中間結(jié)束，所以Alice獲勝的可能性比Bob小。

Litt還表示，有一大類問題是從最初拋硬幣問題中衍生出來的。

對于這些問題，很多人提出了不錯(cuò)的論證，但他個(gè)人仍然覺得，無法實(shí)現(xiàn)直觀的理解。至少從業(yè)余觀點(diǎn)來看，其中有很多令人驚訝的有趣的數(shù)學(xué)。

另有一位來自羅格斯大學(xué)教授Doron Zeilberger，在這些問題中發(fā)現(xiàn)了有價(jià)值的內(nèi)容，并發(fā)表了論文。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.13561

論文中，Zeilberger編寫了一個(gè)軟件包，用于分析這類概率問題的長期行為。

比如，他的程序可以證明在n次拋擲后（當(dāng)n非常大時(shí)），平局的概率大約是1/√n乘以某個(gè)明確的常數(shù)。

他還計(jì)算了一些稱為「矩」的量。

當(dāng)你查看Alice和Bob的得分之間的所有可能差異，這些差異的平均值為0，這也是使其成為一個(gè)難題的部分原因。

但你也可以計(jì)算「二階矩」，即對差異的平方求平均值，以及「三階矩」，即對差異的立方求平均值等等。

Zeilberger和數(shù)學(xué)家Mihai Nica提出了一個(gè)猜想，即僅僅知道二階和三階矩，就足以確定誰贏得更多的比賽。

不過，Litt認(rèn)為，這一點(diǎn)尚未完全證明。

而現(xiàn)在，又有后繼者，另一位數(shù)學(xué)家Svante Janson以及Nica正在撰寫一個(gè)證明。

答案&一道新題

以下三道題，答案會(huì)在后面公布。

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