100個(gè)紅綠球，讓2萬(wàn)人集體翻車(chē)，數(shù)學(xué)家「罐中難題」引爆全網(wǎng)討論

這道100個(gè)紅綠球的「罐中謎題」，兩萬(wàn)多人中僅有20%能答對(duì)？這位數(shù)學(xué)家為我們揭示了，為何概率推理謎題如此反直覺(jué)的原因?，F(xiàn)在，這些已經(jīng)掀起全網(wǎng)大討論，它們絕不僅僅是腦筋急轉(zhuǎn)彎，甚至還催生出了數(shù)篇學(xué)術(shù)論文！

一道看似簡(jiǎn)單的概率謎題，竟然讓80%的人都做錯(cuò)了？

這道題如下——

你有一個(gè)裝有100個(gè)球的罐子，罐子看不到里面，其中有n個(gè)紅球，「100-n」個(gè)綠球。n為「0,100」之間的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。你伸手進(jìn)入罐子并取出一個(gè)球，它是紅色的，把它扔掉后，如果你現(xiàn)在再取出一個(gè)球，它更有可能是紅色還是綠色？或者兩種顏色的可能性是相等的？100個(gè)紅綠球，讓2萬(wàn)人集體翻車(chē)，數(shù)學(xué)家「罐中難題」引爆全網(wǎng)討論！

目前，已經(jīng)有兩萬(wàn)多人對(duì)這道題進(jìn)行了投票，但是，只有22%的人做對(duì)了。

你的答案是什么？請(qǐng)等待后文公布正確答案。

今年1月份，當(dāng)數(shù)學(xué)家Daniel Litt在網(wǎng)上發(fā)出這道題后，引爆了眾多數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)科學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家的解題熱情！

有研究者聲稱，自己如此沉迷于這道題，以至于正經(jīng)研究都無(wú)心去做了

甚至，還有一些哲學(xué)家、金融家、體育分析師參與了進(jìn)來(lái)。

甚至，這道謎題還催生了一系列相關(guān)論文，來(lái)探討謎題背后的數(shù)學(xué)意義！

論文地址：https://sites.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/mamarimhtml/MihaiNicaAliceBob.pdf

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.16660

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2406.20049

可以說(shuō)，這道在線謎題真正凸顯了腦筋急轉(zhuǎn)彎對(duì)于大眾的持久吸引力。

而且，它還展示出了我們數(shù)學(xué)直覺(jué)的局限性，以及概率推理的反直覺(jué)性。

Litt表示，沒(méi)有什么比出一道多項(xiàng)選擇題更令人興奮的了，而且50000人的成績(jī)甚至比隨機(jī)選擇的還要差

這道題，究竟為什么如此反直覺(jué)？為什么簡(jiǎn)單的概率問(wèn)題，會(huì)如此出人意料地困難？

讓我們仔細(xì)討論一下，是什么造就了一個(gè)偉大的謎題。

選中紅球，下一個(gè)球是什么？

話說(shuō)回來(lái)，在這道罐子謎題中，你的答案是什么？

下面公布正確答案——紅色。

怎么樣，的確十分反直覺(jué)吧。

為什么答案不是綠色，或二者概率相等呢？

Litt表示，這位來(lái)自倫敦的數(shù)學(xué)研究者George Lowther的解釋，給出了自己最為喜歡的思考方式——

想象一下，一開(kāi)始有101個(gè)球排成一行，而非100個(gè)球，再隨機(jī)挑選一個(gè)球。

然后，把它左邊的球涂成綠色，右邊的球涂成紅色，再把手里的球扔掉，便剩下100個(gè)球。

然后，隨機(jī)選擇第二個(gè)球，這個(gè)球?qū)?yīng)原問(wèn)題中的第一個(gè)球。問(wèn)題告訴你，你選了一個(gè)紅球，所以它在你扔掉的球的右邊。

現(xiàn)在挑選第三個(gè)球，這個(gè)球有三種可能的位置：

1）在第一個(gè)球的左邊

2）在第一個(gè)球和第二個(gè)球之間

3）在第二個(gè)球的右邊

在這三種可能性中，有兩種情況下，第三個(gè)選中的球是紅色的。所以球是紅色的概率是2/3。

另一位統(tǒng)計(jì)學(xué)博士Jonatan Pallesen提出了一個(gè)很好的啟發(fā)性解釋：

如果你去釣魚(yú)，并很快釣到一條魚(yú)，便會(huì)期望湖里有更多的魚(yú)。同樣，如果你已經(jīng)拿到一個(gè)紅球，這表明罐子里有很多紅球。

「反直覺(jué)陷阱」，為何如此有迷惑性

不過(guò)，這一問(wèn)題恰恰反映出了一個(gè)反直覺(jué)的陷阱。

按理說(shuō)，如果拿出了一個(gè)紅球，那么甕中紅球的數(shù)量就減少了，所以下一個(gè)球就更有可能是綠色的。

很多人都是這么想的，然而，這是一個(gè)錯(cuò)誤的直覺(jué)！

許多人堅(jiān)持認(rèn)為，因?yàn)榧t球數(shù)量減少，所以下一個(gè)球更有可能是綠色的。

Litt對(duì)此表示，「他們不愿意接受數(shù)學(xué)論證，但對(duì)模擬結(jié)果更具信服力」。

其實(shí)，這是一個(gè)隨機(jī)選擇的概率，但從中獲得的信息，會(huì)影響我們對(duì)后續(xù)事件概率的判斷。

一些參與者驚訝道，如此顯而易見(jiàn)的答案，竟有很多人沒(méi)有發(fā)現(xiàn)。

我確實(shí)感到驚訝的是，我們?cè)谶@類問(wèn)題上表現(xiàn)得如此糟糕，因?yàn)楦怕逝c現(xiàn)實(shí)世界的活動(dòng)有著如此明顯的相關(guān)性。我們必須不斷地觀察世界并評(píng)估可能性，然后決定行動(dòng)方案。

或許這個(gè)問(wèn)題確實(shí)對(duì)于一些專業(yè)人士來(lái)說(shuō)，的確輕而易舉。但多數(shù)人還是會(huì)掉入陷阱，為什么對(duì)他們來(lái)說(shuō)，這道題會(huì)如此困難？

Litt認(rèn)為，關(guān)鍵點(diǎn)在于初始設(shè)置中的概率分布。

也就是說(shuō)，罐子問(wèn)題是完全依賴于，紅球數(shù)量是根據(jù)所謂的均勻分布（即從甕中抽取）來(lái)選擇的。

當(dāng)抽出的是一個(gè)紅球，告訴你的信息是，自己處于一個(gè)「紅色的世界」中，但也只是因?yàn)長(zhǎng)itt這樣設(shè)置的問(wèn)題。

但若是，根據(jù)二項(xiàng)分布來(lái)選擇球的顏色——即通過(guò)拋硬幣來(lái)選擇每個(gè)球的顏色。

那么，即便你知道了第一個(gè)球是紅色的，但對(duì)下一個(gè)球來(lái)說(shuō)，沒(méi)有什么含義，進(jìn)而不會(huì)影響后續(xù)抽取概率。

修改起始分布非常容易，這樣就能獲得紅色、綠色、或可能性等同的三種答案中的一種。

如果調(diào)整分布，就會(huì)完全改變答案，因此，一個(gè)人的直覺(jué)必須對(duì)問(wèn)題的設(shè)置非常敏感，這才是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵。

對(duì)此，Litt設(shè)計(jì)了一系列罐子問(wèn)題，每一個(gè)都是為了打敗某人為之前某個(gè)變體提出的啟發(fā)性解釋而設(shè)計(jì)的。

所以說(shuō)，很難想出能夠檢測(cè)到這些細(xì)節(jié)的啟發(fā)性方法。

其實(shí)，在現(xiàn)實(shí)世界中，我們?cè)诟怕视?jì)算上，并非那么擅長(zhǎng)。

但在生活中，有些活動(dòng)卻與概率問(wèn)題息息相關(guān)。我們通過(guò)不斷觀察世界，評(píng)估概率，然后再做出行動(dòng)方案。

Litt稱，雖然我不是心理學(xué)專家，但人們?cè)诳紤]問(wèn)題各個(gè)方面，都會(huì)變現(xiàn)出規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，由此會(huì)系統(tǒng)地高估了/低估了極不可能發(fā)生事件的概率。

在線謎題，萬(wàn)人參戰(zhàn)

一直以來(lái)，Litt專注于研究代數(shù)幾何和數(shù)論交集的領(lǐng)域，而在概率論方面，他還只是業(yè)余愛(ài)好者。

過(guò)去，他參加了一些有關(guān)概率的講座，并激發(fā)出極大的興趣，躍躍欲試。

Litt表示，「雖然概率論與日常的數(shù)學(xué)思考內(nèi)容，相去甚遠(yuǎn)，但也涉及到了自己一些相對(duì)熟悉的東西」。

閑暇時(shí)候，他會(huì)提出一些簡(jiǎn)單的概率問(wèn)題。

當(dāng)自己發(fā)現(xiàn)得到了一個(gè)很酷、且反直覺(jué)的答案時(shí)，便會(huì)將謎題發(fā)在X上，讓大家一起破解。

人們喜歡在社交媒體上吐槽，Litt的謎題下面，也逐漸成為大家討論的社區(qū)，構(gòu)建起一個(gè)概率圈的生態(tài)系統(tǒng)。

之所以在X上討論數(shù)學(xué)，是因?yàn)?020年疫情期間，Litt感到非常孤獨(dú)，便發(fā)現(xiàn)在社交媒體中，與隨機(jī)的人聊自己喜歡的主題可以獲得快樂(lè)。

在Litt看來(lái)，即便是拋硬幣這種最基本的概率事件，也會(huì)產(chǎn)生有趣的問(wèn)題。

就比如，前段時(shí)間，他發(fā)布的有關(guān)擲硬幣的一個(gè)謎題，便吸引了2萬(wàn)多人參與討論。

還有另一個(gè)改版的同類謎題，更是得到近5萬(wàn)位網(wǎng)友的投票。

下一個(gè)謎題：拋硬幣

下面這道拋硬幣難題，被Litt稱為自己最喜歡的謎題。

而且，僅有10%的參與者答對(duì)了，比例低到驚人！

Alice和Bob各拋硬幣100次（正面是H，反面是T）。每當(dāng)連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)正面HH時(shí)，Alice得1分；出現(xiàn)正反面HT時(shí)，Bob得1分。因此，現(xiàn)在，二人已經(jīng)得到了「THHHT」，因此Alice得2分，Bob得1分，最后誰(shuí)更有可能獲勝？

有人對(duì)此推理的是，如果列出100次拋硬幣的所有不同結(jié)果，并計(jì)算出Alice和Bob的分?jǐn)?shù)。他認(rèn)為每個(gè)人總分相同。

因此，他們預(yù)期的答案是二者相同。

但事實(shí)證明，Bob獲勝的可能性更大！這是為什么？

顯然，人們的直覺(jué)又在作祟了。

一個(gè)直覺(jué)是，Alice可以在短時(shí)間內(nèi)得很多分。例如，在連續(xù)出現(xiàn)正面HHHHHHH情況下，她在第一次之后的每次拋擲中都得分。

在100次拋擲中，Alice的分?jǐn)?shù)可以高達(dá)99，但Bob最多只能得50分。

所以Alice會(huì)以壓倒性的優(yōu)勢(shì)獲勝，這意味著她在游戲中浪費(fèi)了一些期望得分。

相較之下，Bob可能會(huì)贏得更多比賽，但每次獲勝優(yōu)勢(shì)較小。通過(guò)模擬驗(yàn)證，可以證明這個(gè)結(jié)果是正確的。

不確定的是，如果改變游戲規(guī)則的話，這個(gè)啟發(fā)性的方法是否成立。

而且，Litt表示，我不知道是否存在一個(gè)證明，能夠完全解釋這種現(xiàn)象，特別是一個(gè)適用于任意次數(shù)翻轉(zhuǎn)的證明。

概率論家、數(shù)學(xué)博士發(fā)論文

對(duì)于自己所出的概率題，Litt也做了一個(gè)證明，但僅是一個(gè)復(fù)雜，且缺乏理論的論證。

而真正讓他興奮的是，這些謎題在一大波專業(yè)人士中，掀起了熱議。

一位數(shù)學(xué)博士Sridhar Ramesh收集了一些漂亮的論證。

他將拋硬幣問(wèn)題比作成一個(gè)「隨機(jī)行走」的問(wèn)題，其中向上和向下的步驟概率相等，但速度分布不同。

從中可以獲得的關(guān)鍵觀察是，返回原點(diǎn)所需的時(shí)間，與第一步向上還是向下無(wú)關(guān)。

因?yàn)榉聪驁?zhí)行相同的步驟，也有相同的概率。

由此，可以得出，對(duì)于任何固定的行走時(shí)間，最后一步離開(kāi)原點(diǎn)的方向（向上或向下）的概率是相等的。

那么，再將這個(gè)觀察應(yīng)用到硬幣游戲中：

-HH相當(dāng)于一個(gè)單位時(shí)間的「向上」步驟

- HT^n H相當(dāng)于n+1個(gè)單位時(shí)間的向下步驟

這意味著，游戲結(jié)束時(shí)，我們同樣可能在原點(diǎn)之上（Alice贏，或者存在一個(gè)可能讓游戲平局HT^n H的中間步驟），或原點(diǎn)之下（Bob贏）。

如果游戲由HHT，后面全是T組成，有可能會(huì)平局。

由于可能在HT^n H步驟的中間結(jié)束，（在給Bob一個(gè)使游戲平局的分?jǐn)?shù)后，但在返回到H之前），而不可能在HH的中間結(jié)束，所以Alice獲勝的可能性比Bob小。

Litt還表示，有一大類問(wèn)題是從最初拋硬幣問(wèn)題中衍生出來(lái)的。

對(duì)于這些問(wèn)題，很多人提出了不錯(cuò)的論證，但他個(gè)人仍然覺(jué)得，無(wú)法實(shí)現(xiàn)直觀的理解。至少?gòu)臉I(yè)余觀點(diǎn)來(lái)看，其中有很多令人驚訝的有趣的數(shù)學(xué)。

另有一位來(lái)自羅格斯大學(xué)教授Doron Zeilberger，在這些問(wèn)題中發(fā)現(xiàn)了有價(jià)值的內(nèi)容，并發(fā)表了論文。

論文地址：https://arxiv.org/pdf/2405.13561

論文中，Zeilberger編寫(xiě)了一個(gè)軟件包，用于分析這類概率問(wèn)題的長(zhǎng)期行為。

比如，他的程序可以證明在n次拋擲后（當(dāng)n非常大時(shí)），平局的概率大約是1/√n乘以某個(gè)明確的常數(shù)。

他還計(jì)算了一些稱為「矩」的量。

當(dāng)你查看Alice和Bob的得分之間的所有可能差異，這些差異的平均值為0，這也是使其成為一個(gè)難題的部分原因。

但你也可以計(jì)算「二階矩」，即對(duì)差異的平方求平均值，以及「三階矩」，即對(duì)差異的立方求平均值等等。

Zeilberger和數(shù)學(xué)家Mihai Nica提出了一個(gè)猜想，即僅僅知道二階和三階矩，就足以確定誰(shuí)贏得更多的比賽。

不過(guò)，Litt認(rèn)為，這一點(diǎn)尚未完全證明。

而現(xiàn)在，又有后繼者，另一位數(shù)學(xué)家Svante Janson以及Nica正在撰寫(xiě)一個(gè)證明。

答案&一道新題

以下三道題，答案會(huì)在后面公布。

第一題：Equally likely

第二題：HTTTH

第三題：Bob

就在剛剛，Litt又發(fā)布了一個(gè)改版的罐子問(wèn)題，你認(rèn)為答案會(huì)是哪個(gè)？

個(gè)人介紹

Daniel Litt目前是多倫多大學(xué)數(shù)學(xué)助理教授。2019-2022年，他也曾在佐治亞大學(xué)擔(dān)任助理教授。

2015年，他獲得了斯坦福大學(xué)博士學(xué)位。2018年在哥倫比亞大學(xué)擔(dān)任NSF博士后。另外，2018-2019年，他還是高級(jí)研究所的成員。

總的來(lái)說(shuō)，Litt對(duì)代數(shù)幾何和數(shù)論之間的相互作用感興趣，對(duì)拓?fù)鋵W(xué)也有一定的興趣。

他的大部分工作都集中在，使用算術(shù)技巧來(lái)研究比如復(fù)雜代數(shù)簇的經(jīng)典問(wèn)題。

目前，他的研究重點(diǎn)是，代數(shù)簇基本群上的算術(shù)結(jié)構(gòu)，以及這些結(jié)構(gòu)和簇的幾何之間的關(guān)系。

此外，他本人其他感興趣方向包括，關(guān)于正性和消失性定理的問(wèn)題，代數(shù)簇的動(dòng)力學(xué)，以及霍奇理論（廣義理解）。

目前，他得到了NSERC的資助項(xiàng)目——算術(shù)和代數(shù)幾何中的Anabelian方法，還曾是斯隆的研究獎(jiǎng)學(xué)金獲得者，以及安大略省的早期研究人員。100個(gè)紅綠球，讓2萬(wàn)人集體翻車(chē)，數(shù)學(xué)家「罐中難題」引爆全網(wǎng)討論！